고도 상승에 따른 지구 표면적과 격자 크기 변화

지구 반지름을 \(R\), 높이를 \(h\)라고 할 때, 고도 \(h\)에서의 면적은 지표면 면적에서 \(\frac{2h}{R}\)만큼 비례하여 증가한다. 이는 구의 겉넓이 공식 \(A = 4\pi R^2\)을 미분한 결과와 관련이 있다.

• 지표면 면적 (\(A_{0}\)): \(4\pi R^2\)
• 고도 \(h\)에서의 면적 (\(A_{h}\)): \(4\pi (R+h)^2 = 4\pi (R^2 + 2Rh + h^2)\)
• 면적의 차이 (\(\Delta A\)): \(4\pi (2Rh + h^2) = 8\pi Rh + 4\pi h^2\)

 

여기서 고도 \(h\)가 지구 반지름 \(R\)에 비해 매우 작으므로 \(h^{2}\) 항은 무시할 수 있다. 따라서 지표면 면적에 대한 고도 면적의 비율 차이는 근사적으로 다음과 같이 계산된다.

\(\frac{\Delta A}{A_0} \approx \frac{8\pi Rh}{4\pi R^2} = \frac{2h}{R}\)

지구의 평균 반지름(약 6,371 km)과 고도 10 km를 대입하면 다음과 같다.

\(\frac{2 \times 10 \text{ km}}{6,371 \text{ km}} \approx 0.0031\)

즉, 고도 10 km 지점의 지구 면적은 지표면보다 약 0.31% (비율로는 약 \(0.0031\)) 더 넓어진다.

 

지표면에서 \(100\text{ m}^2\)인 격자는 고도 10km로 올라가면 \(100.31\text{ m}^2\)로 변하게되여, 격자 하나의 크기가 약 \(0.31\text{ m}^2\)(약 \(31\text{ dm}^2\)) 만큼 넓어진다.

구분	지표면 (\(h=0\))	고도 10 km (\(h=10\text{ km}\))	변화량
격자 면적	\(100\text{ m}^2\)	\(100.31\text{ m}^2\)	\(+0.31\text{ m}^2\)
가로/세로 길이	\(10\text{ m}\)	\(10.0155\text{ m}\)	\(+1.55\text{ cm}\)

• 면적의 증가: \(100\text{ m}^2\) 크기의 바닥에 돗자리를 깔았다고 가정하면, 고도 10km에서는 A4 용지 약 5장 크기(\(0.31\text{ m}^2\))만큼의 빈 공간이 더 생기는 셈이다.
• 길이의 증가: 면적이 \(\frac{2h}{R}\)만큼 늘어날 때, 가로와 세로의 길이는 각각 그 절반인 \(\frac{h}{R}\)(약 0.155%)씩 늘어난다. 따라서 \(10\text{ m}\)였던 한 변의 길이는 약 \(1.55\text{ cm}\) 늘어난 \(10.0155\text{ m}\)가 된다.

1000m² 지표면 격자와 고도 10km 확장 격자 크기 비교

 

# 지표면 격자 (Base Grid - 1000 m²):
POLYGON ((126.9781791915 37.5666422757, 126.9778208085 37.5666422757, 126.9778208085 37.5663577243, 126.9781791915 37.5663577243, 126.9781791915 37.5666422757))

# 고도 10km 확장 격자 (Expanded Grid - 1003.1 m²):
POLYGON ((126.9781794696 37.5666424987, 126.9778205304 37.5666424987, 126.9778205304 37.5663575013, 126.9781794696 37.5663575013, 126.9781794696 37.5666424987))